2024.11.11

考虑无边界的波方程问题，此时无需考虑边值条件，化为

因为我懒得敲，所以把上面的问题记作 $\mathrm{WaveCauchy}(f,\phi ,\psi )$ ．

由于方程是线性的，求解 $\mathrm{WaveCauchy}(f,\phi ,\psi )$ 的方法是：考虑三个方程

由线性叠加原理，这三个方程的解即是方程 $\mathrm{WaveCauchy}(f,\phi ,\psi )$ 的解．

下面的定理指出，只需求解第二个方程即可．

用第二个方程的解找第一、三个方程的解

找第一个方程的解

首先求解第一个方程：

设 $u_1=u_1(x,t)$ 为其一解，令 ${\displaystyle U_1(x,t)={\int }_0^t{u}_1(x,\tau )\mathrm{d}\tau }$，则由微分算子可交换得

当然这里没有要求 $U_1(x)$ ，从而如果我们令 $U_1(x,0)=0$，这就化为了第二个方程的形式，立得 $(1^{\prime })$ 的一个形式解是

下面证明这确实是 $(1)$ 的一个解．前两个条件可以由微分算子可交换得证．对第三条，由假设的光滑性，有

从而

由于 $x\in {\mathbb{R}}^n$ ，$t=0$ 时对 $M$ 而言有 $M\equiv 0$，从而 $\mathrm{\Delta }M=0$ （对固定 $t$ 来说），从而第三条方程也满足．

找第三个方程的解

现求解第三个方程

我们不妨把第一条拿出来看：

这是一个非齐次方程，容易想到解的形式应当类似于一个齐次方程加一个特解的样子——毕竟 $\mathcal{L}$ 可是一个线性算子．回忆我们在用常数变易法解齐次非线性常系数微分方程的时候，非齐次项出现的情况往往是这样的：

可以抽象地理解为：对齐次方程的解做了一些操作，使得可以借助齐次方程消去多余项的同时，在操作中引入的东西让方程右边留下了非齐次项．齐次方程用的肯定是 $M(x,t,f)$ 等某种东西了，可是怎么变形呢？

一个火眼金睛的观察是：考虑 $v(x,t,\tau ):{\mathbb{R}}^n\times (0,+\mathrm{\infty })\times (0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ 是下面的方程的解：

该方程不过是第二型方程的平移，因此令 $\tilde{u}(x,t)=v(x,t+\tau ,\tau )$，代入方程得

由第二型方程， $\tilde{u}(x,t)=M(x,t,f(\cdot ,\tau ))$，故 $v(x,t,\tau )=\tilde{u}(x,t-\tau )=M(x,t-\tau ,f(\cdot ,\tau ))$ ．另一方面，由于足够光滑的假设，$v(x,t,\tau )$ 应是关于 $\tau$ $C^2$ 变化的，从而是方程的解．

再令 ${\displaystyle V(x,t)={\int }_0^{t}v(x,t,\tau )\mathrm{d}\tau }$，首先有 $V{|}_{t=0}=0$. 又 两边对 $t$ 求导，我们有

首先我们就有 ${\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t}}{|}_{t=0}=0$. 再求一次导，有

这就说明 $V$ 满足方程：

从而可取 $u_3=V$ ．这就是一解．

法二：Duhamel 原理（齐次化原理）

我们从物理的角度去思考．三条方程实际上对应于

考虑一个时间微元 $[\tau ,\tau +\delta t]$，该时间微元中各质点受到的冲量为

当 $\delta t$ 很小时，可以认为该时间微元内满足方程

这里受力置为 $0$ 是因为 $\delta t$ 是小量，而二阶导项为更高阶的无穷小．

由于 $u$ 与 $\delta t$ 无关，方程在一个小量上的解为（由上面说的平移）

从而

这种用齐次方程解非齐次方程的方法即 Duhamel 原理．

结论

用 $M(x,t;\psi )$ 表示方程 $\mathrm{WaveCauchy}(0,0,\psi )$ 的解，则方程的解为

其中